【大紀元7月18日訊】我們上次簡述了有理數和無理數的概念，雖然沒有嚴格的理論基礎，但是人們也沒有覺得不可理解。
談到無理數，我想起一個故事：古希臘的畢達哥拉斯學派有一個信條：宇宙間的一切現象都能歸結為整數或整數之比。但是這個學派又在數學上有一項重大發現：勾股定理。但是這卻帶來一個問題，如果一個直角三角形的兩個直角邊都是1，那麼斜邊應該有多長呢？結果發現沒有哪個有理數能夠是這個斜邊之長。我們現在的人可能無法想象，這種現象卻引起了第一次數學危機(因為在此以前的人都認為有理數能夠度量一切長度)，有人說，這種性質是希帕索斯約在公元前400年發現的，為此，他的同伴把他拋進大海。不過更有可能是畢達哥拉斯已經知道這種事實，而希帕索斯因泄密而被處死。
當然，數學並不是單純的數的發展，就剛才提到的勾股定理就是幾何學的問題，由幾何學促進了數的概念的推廣，此後人們完善了幾何學，開始是歐幾裡得的幾何學(我稱之為平直空間的幾何學)，後來又發展了非歐幾何(即彎曲空間的幾何學)。在幾何學裡，人們較多運用邏輯，即從公理開始，運用一系列的邏輯推演，得出一系列結論。
為了計算求速度、求切線，以及求極大、極小值等問題。經過許多人多年的努力，終於在十七世紀晚期，形成了無窮小演算──微積分這門學科，這也就是數學分析的開端。其中，牛頓和萊布尼茲被公認為微積分的奠基者。同時，十八世紀的數學家成功地用微積分解決了許多實際問題。
我們上大學的理工科非數學專業學生學的高等數學基本就是這些東西，都沒有嚴密的邏輯基礎，基本都是習慣的接受，也沒有認真的思考為什麼，但是我們發現可以實際運用得很好，基本不會造成我們的頭腦絕對的邏輯化。其基本原因就是這些數學的建立裡邊並沒有嚴格的運用邏輯和給出完備的定義。大家能夠接受也是因為這些理論能夠符合我們的理論直觀，能夠想象出這些理論是正確的。但是如果我們校真兒的話，我們會發現，我們無法証明。
那麼在歷史上也是這樣，到十九世紀二十年代，一些數學家才開始比較關注於微積分的嚴格基礎。它們從波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄裡克萊等人的工作開始，最終由威爾斯特拉斯、戴德金和康託爾徹底完成，中間經歷了半個多世紀，基本上解決了矛盾，為數學分析奠定了一個嚴格的基礎。
其中維爾斯特拉斯給出了ε – δ的極限、連續定義，並把導數、積分等概念都嚴格地建立在極限的基礎上。
十九世紀七十年代初，威爾斯特拉斯、戴德金、康託爾等人獨立地建立了實數理論，而且在實數理論的基礎上，建立起極限論的基本定理，從而使數學分析終於建立在實數理論的嚴格基礎之上了。
但是我發現，大學裡的學生普遍對ε – δ語言(數學裡極限的定義)感到頭痛，什麼原因呢？我覺得從十九世紀二十年代起，雖然數學家建立的工作很好，可是從另一個方面，它把人們的頭腦邏輯化，讓人們習慣於這種正常人不習慣的思維方式。我記得我剛開始學習時也覺得有點兒不習慣，但是由於我太習慣於數學的思維方式(邏輯式的思維方式)，再加上那時的我抱著一心想要功名成就的想法而刻苦學習，我很快習慣了這種思維方式，而且ε – δ語言真的成了我語言中的一部分。此後的幾年，我感到數學幾乎已經融化到我的血液中去，我看數學沒有一絲頭痛，而且有了一種自動式的思維。
但是，當我與文科的朋友交談時，我感到我和他們有著不可調和的矛盾：我感到他們說話不准確，很多不合乎嚴格邏輯等等。我越發感到自己思維的僵化。這就是嚴格邏輯(無限演繹)所帶來的人的變異：當人們簡單的運用邏輯時，還沒有什麼，但是當人們無限的演繹下去時，就會發現這種變異。
剛才也提到了戴德金建立了實數理論(我念大學時學習的就是他的理論)，其實他的理論，用我們平常人的話說，就是把所有的有理數全都放在直線上，那麼無理數之集其實就是所有的空隙所構成的集合。我想大家肯定能夠明白我所說的話。當然了，為了說明問題嘛，隻要大家覺得明白就可以了，不可能運用嚴格的邏輯。但是呢，搞數學的人在真正作數學的時候是不絕對依靠邏輯的，更多依靠的是直覺和合情推理(日常生活中的邏輯)，當得出結論時，再運用嚴格的邏輯給予証明(當然，也有直覺錯誤的時候)。
有人說，數學最終歸結於邏輯。但是，如果數學真的歸結於邏輯的話，那麼我說沒有什麼數學家了，因為任何一個人隻要有足夠的時間，都能夠運用邏輯發現定理。其實，表面上數學好像是邏輯的推演結果，但是那種想法的來源才是真正的東西，我個人認為，數學也是宇宙中的產物，數學本身也構成一個世界。我們人不過是發現了它。
話又說回來，這種實數的建立其實隻是一種理念上的東西，但是它卻給我們帶來一個錯覺，好像現實世界真的就是這樣，其實不然。比如，談到直線，當我們想象一個直線的時候，我們的腦海中好像真的有一個連續的直線。我們用鉛筆和直尺也可以畫出筆直的線，我們眼睛看到的的確是連續的，但是我們所得到的印象仍然是錯覺，因為不管用什麼筆畫出的直線都是由分子(或原子)組成的，再微觀下去，會發現原來有很大的縫隙，怎麼會是連續的呢？那麼實數空間真實的存在嗎？顯然是不存在的。另外，實數空間同時也否認了同時同地的另外空間的存在，也否認了鬼魂以及高級生命能夠穿越我們空間障礙物的現象。這就是它的另外一種變異。
我所說的變異不是說它真的不能夠使用，作為一種工具，它是有一定的實用價值的，雖然它不是真實的存在，但由於分子(或原子)太小，當我們研究問題的時候，現實中的東西近似真實的直線，不影響計算結果(誤差極小)，就像用筆連續畫出的線我們覺得是連續的一樣。
數學所引發的這種絕對邏輯同時也給我們很大的局限，使得我們受制於常規邏輯的制約。
讓我舉一個很通常的例子，有人說沒有上帝，為什麼呢？他說：基督教認為上帝是萬能的，如果上帝存在，那麼他能否制造出一個石頭，使得他自己無法舉起來。
當然，如果我們按照他的邏輯去推理的話，確實是沒有上帝。可是我們所說的萬能不是純粹邏輯意義上的萬能，而是上帝的能力極大，超越於所有的常人。他把“萬能”置於絕對邏輯之中，用二難推理的辦法來打倒上帝，簡直就是荒謬。
用語義解釋的辦法來駁倒反對上帝的人的說法其實是對上帝不敬，盡管我有這個能力來反駁，但一想到這麼作不嚴肅，所以就不作這樣的反駁了。
在現實生活中，很多邏輯是不能夠簡單的運用的，因為簡單的邏輯是針對純粹形式邏輯才好使的，而在現實生活中形式邏輯中所運用的概念可以有不同的意義。比如：“一個物體既是方的，又是圓的”。這句話在純粹的形式邏輯中是錯的，可是在現實生活中是可以實現的，比如一個圓柱體就滿足這樣的要求。
再比如：1+1=2在自然數集合中是對的，但是在Z2 (即由0和1所構成的集合，滿足：0+0=1+1=0，0+1=1+0=1，0*0=0*1=0，1*1=1，1*0=0，這個集合同樣滿足實數集合中加法和乘法的一切性質) 中就是不對的。
尤其到了近代，數學中的集合論的出現使得人們對於邏輯的運用更加無以復加，再加上無窮的概念的使用使得我們人類在理念上出現了很多問題。讓我舉一個簡單的例子：
假如我們定義全世界上所有不給自己刮胡子的人構成一個集合，記為A，剩下的人就是給自己刮胡子的人，記為B。那麼假如我們有這樣一個人C，C隻給A中的人刮胡子，那麼C是否給自己刮胡子？
這個例子在一些教科書中被引用過，也是一個悖論：即由真推出偽，還能夠由偽推出真。
當然，還能夠舉出一些悖論的例子，我的目地不是解決什麼悖論，而是說明一個問題，人類這樣無限度的這樣發展下去是很危險的，人們漸漸的離開了真實，生活在一種虛幻的邏輯之中，這正是一種可悲之處。
現在的數學發展到了什麼程度？我記得一個美國數學家所出的書中提到了一個例子，運用選擇公裡(即給定無窮個集合，那麼我們可以從這無窮個集合中每一個集合取出一個元素組成一個新的集合)和一系列邏輯推理(當然包括數學上的巧妙手法)推斷出驚人的結論：一個藍球大小的實心球體，可以通過某種重新分割，在重新組合，可以組合成地球大小的實心球體。
從選擇公裡的內容看，沒人覺得這個公裡是不對的，但是，你敢於相信這樣的結論嗎？可它真的出現了。現在數學所出現的危機幾乎沒有人去碰它，因為一次比一次深刻。現在在數學的基礎中所出現的問題沒有人去問津，人們也不願意去觸及，因為它牽扯到人們思維中的根本東西了。所以眾多人轉向應用，有用就行！我這個小小的數學工作者當然更不想去更多的了解它。我隻是以我個人的經驗來告訴大家，數學已經走向了盡頭！而且，數學作為近代科學的基礎已經這樣了，更何況其它學科呢？(完)
北萊茵@(http://www.dajiyuan.com)
