杜維華：淺談「數」（二）

【大紀元7月16日訊】上次談到自然數的基本定義，有了這個定義，自然可以討論其性質，當然這些性質如實地反映了實際生活中的現象。可是僅僅有了自然數的概念是遠遠不夠的。

我們知道在自然數中也是有除法的，但是並非任何兩個自然數（0除外）都能夠整除，那麼當不能夠整除時我們怎麼辦呢？在理論直觀上真的能夠實現嗎？

比如一個兩米長的木棍要等分為三節，我們也同時知道等分為三節的方法，就是運用平面幾何中的等分線段定理：一個三角形ABC（A，B，C分別為三個頂 點），把BC看作底邊，如果平行於底邊BC的一組平行線等分AB，那麼這組平行線也同樣等分AC。我想大家很容易知道如何應用這個定理等分這個兩米長的木 棍。所以，從理論上講，2除以3應該是有意義的（這裡暫不探求我們這個物理世界是否真的能夠做到有2除以3的結果，因為這牽扯到構成這個世界的最小粒子單 位）。

也就是說，在理論直觀上是存在分數的，所以我們定義分數是完全合理的，通常表示為n/m的形式，比如2除以3的結果表示為2/3。不過，代數中的定義可就 不是這麼簡單了，那是為了在邏輯上無矛盾而建立的，當然，我們可以放心大膽地按照實際生活中的經驗來做，這都沒有關係。可以說，雖然在定義的時候我們還把 它看作學問來對待，但由於應用得太頻繁了，它已經成為我們實際生活中直覺的東西了。

那麼當我們想表示欠誰多少錢時怎麼辦呢？這時我們用負數來表示，比如用-2表示拖欠別人2元錢等。自然，我們可以定義出負整數，負分數等等，我們統稱這些 為有理數，也就是說，這些數都是「有一定道理的」。

在運算上，所有有理數所構成的集合對加減乘除都是封閉的（除法時，0不能作為被除數），在小數表示上，表現為整數，有限位小數或無限循環小數。

此外，由於解方程的需要，比如x*x=2的解如何表示呢？就用根號表示吧。同時也發現了一些數無法表示為分數的形式（例如根號2,兀等），於是統稱這些為 無理數。在表示上表現為無限不循環小數。在中學教學中把無理數定義為無限不循環小數。

以上所敘述的是我們平常人能夠理解的，大家也都覺得很自然，雖然也稱它為數學，但還是沒有使用嚴格的邏輯推理，很多都是通過舉實例的方式和激發人們想像 （我稱之為合情推理模式）來達到讓人們理解。人們還沒有感覺到數學的不可思議。這些東西並不是現代科學的實質，因為即使沒有現代的科學，我們還會運用這些 知識，所以它還是正常社會的產物。

北萊茵

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