如何培養數學小天才：真正建構式數學的精神(3-1)
【大紀元8月14日訊】
世界上只有一到五這五個量！
其它量都是這五個量的重組。
本文將證明只要用五個量，只要認識五個量，就能建構出所有量。
前面二章中，介紹了：
1.一到五的積木
2.一到五的數字
3.一到五的加減法
4.一到四的組成
5.五的十六種組成
只要五根積木就可以建構出如此之多有趣的變化。
第三章要介紹六、七、八、九、十，直到二十。它們不是新的量，乃是舊有五個量的延續。
本章著重在闡揚數論，要叫人看透數量的結構性質。幾乎我所有的文章都在強調數學的結構，而非計算過程或答案，甚至應用。
求答案，不是最重要的！看透結構比求答案更重要。
數的結構是「本」，求數的分解或結合（答案）只是末，不要本末倒置了。
以下要介紹六到十！
請默看下圖一分鐘，抓住心裡湧起的第一個直覺，這個直覺就是我們天生的數學感。人的身體是神奇的數學幾何模型，人的也思考不離數學的邏輯。我們天生懂數學這句話，其來有自。
右欄的五個積木圖，正是左欄加上一根黃色積木的重複！
請回想本文開頭的話：
六到十，不是新量，乃是舊有五個量的延續。世界上沒有新的數量，所有的數量都是舊數量的累積。
把六、七、八、九、十視為五加上一、二、三、四、五的做法，比貿然引進六到十的觀念要好上許多！它能讓人立即明白，新的五個量和舊的五個量有什麼關聯。
在數學世界中，沒有什麼東西是忽然出現的，所有東西都是有源頭的，就像一條河流，定然有源頭，只要我們認真溯源，就會找到它的上游。因此無論引進任何的數學新觀念，都要從舊有的觀念出發，承先才能啟後。
不要以為基礎數學，可以隨便教教，能夠算出答案來就好。如上文所言，算出答案不是最重要的，學會數學邏輯的思考模式，才是最重要的。
因此即使如簡單介紹六七八九十的觀念，方法也是不能忽略的。
再回頭看上面的1~5和6~10的積木對應圖，大部分的人看了這個圖形，都會升起某種神秘的美感。人類的美感源自對應，只要是對應或對稱的東西都會引發人的美感意識，而數學世界的美感經常以模式（pattern）的面貌出現。模式是什麼？就是一種規律，一種共同的面貌：海浪的波紋和天上的雲朵，或者沙邱的沙痕，花瓣或葉脈形狀，就有不同的模式，或說特徵，我們只要看一眼（如下圖），就可以分辨這是屬於何者的紋路。
基礎數學教育，應一開始就培養小朋友欣賞「模式」（pattern）之美的能力，而不是拼命地教他計算，希望他成為一部快又準的計算機。
發現模式，找出規律，是高等數學的神髓，是人腦應致力的；而計算只是低等數學，屬於電腦和計算機的工作。
數學的美學教育，應該越早進行越好，在幼兒階段就開始進行，不必等到研究所。
A.三個五色台階：新量和五個舊量的左右對應
1.中間是五的台階：1~5和6~10
把左欄1~5和右欄6~10的積木拼在一起，就會變成一個很美的五層台階。它的美感在於左右對稱，凡對稱的東西，都會出現一種美感。
2.中間是兩個五的台階：1~5和11~15
一到五的五根積木不僅能建構六到十，也可以建構十一到十五，只要把中間的五延長為十，請看下圖：
把這個台階左右拆開，還原如下圖：
3.中間是三個五的台階：1~5和16~20
再來十六到二十，也可如法炮製。延長中間的淡黃色長方形，呈十五即可！
把左右欄拆開，如下圖：
請依照1.0，1.1，2.0，2.1，3.0，3.1的圖形順序，重新看一次！
能夠排出三個中間為五，十，十五的五層階梯的小朋友，對於六到二十的級次結構，可說了然於心！
這六個圖能讓教師毫不費力地引進六到二十的新數量概念！
它們不過是舊有的五個量的延續和重複組合，也可以說六到二十，正是一到五加上五的倍數。
世界上沒有別的數字，就只一到五而已。所有的數字都可以用這五個數來代表。S={X│X=5A+B，A ，B }。N代表自然數。
B.四座水晶山：新量和五的倍數關係
排得出以上三個五色階梯的小朋友，也許還寫不出如下算式，但無疑地，他擁有如下概念。
小朋友很容易擁有概念，但也很容易迷失在符號的黑森林裡。再強調一次，人天生有數學感，人類是天生的數學家族群，但是符號是人為造成的，是後天社會化的東西，所以小朋友天生有數學概念，但是對符號陌生，甚至很難接受。
試想，我們作為一個成人，忽然移民到火星上，那裡的用的數學符號和地球上所用的完全不同，我們會有什麼感受？
數學教師有一個天大的錯誤觀念，就是喜歡用符號去教概念，殊不知這是緣木求魚的動作，應該反過來，用概念去教概念，再反轉過來，把概念變成符號！
然而概念是抽象的，如何用抽象去教會抽象呢？最好的媒介是數學教具，而非數學符號。
許多人不免困惑或焦慮，操作數學學具得來的概念，如何轉換成符號？畢竟答案和計算過程要用符號（算式）寫吧！其實這一點不難，只需一點轉換技巧（後文詳細介紹）。
是否上面的三個中間為五、十、十五的階梯圖是唯一的積表達法呢？
不！數學的積木表達法絕不僅止於幾種，還有很大的空間，可以開發出更多種。
請把4.0的算式表和4.1的水晶山合在一起看，再和1.1，2.1，2.1的五色階梯對照看。
4.0的算式表的具體表現是水晶山，只要有算式，就應當設法做出積木圖來。
五層階梯，強調的是1~5和6~20的「對稱」感；水晶山，強調的是和五之間的關係，積木圖的建構是為了看清底下有幾根黃色積木。
第一座水晶山下，下方完全沒有五的黃色積木。(A=0)
第二座水晶山下，下方有一根五格黃色積木。(A=1)
第三座水晶山下，下方有兩根五格黃色積木。(A=2)
第四座水晶山下，下方有三根五格黃色積木。(A=3)
圖像數學的魅力，在於概念「不言自明」！
既然是不言自明，教師就可以省去不少解釋唇舌，有餘力投注在還需要的地方。小朋友有一個特徵，許多大人也有同樣特徵，就是不見得能從言語上領悟，卻能從圖像上領悟。尤其是年記小的小朋友，多是靠視覺學習的，因為他們的字彙庫不夠充分，掌握語言的能力比較薄弱。然而人對圖像的理解力，卻是天生的不用教，也會懂得的
每一個數學觀念，每一道算式，都應該用不同的積木圖去詮釋，因為每種積木圖都會強調不同的特徵，而這可以讓人從不同的角度去看數的結構。而小朋友擁有新鮮活潑的創造力，鼓勵她們創造不同的積木圖，也就是鼓勵其從不同的角度觀察並思考數學。手會帶動一個人的思考，因此操作學具的重要性，是再怎麼強調也不為過的。
當一到二十已經介紹完畢時，是否還有必要再繼續介紹二十以上的數呢？到這裡可以暫時打上一個句點了，因為明眼人應該知道，二十以上仍然是五個量加上多少個五的循環模式，並沒有多大新意。只要把四座水晶山延展為五座，六座、七座、八座等，繼續下去，再把底下的黃色積木增加為四根、五根、六根、七根、二十以上的量就會源源不斷地出來。
如果小朋友還是意猶未盡的話，教師可以把水晶山向右延展，向下加深，超過二十的量會一一出現。
*操作數學學具的必要性
台灣目前對數學學具的操作，並不怎麼重視，原因不外乎下列幾點：
一，學具太貴。大部分的人以為學具是玩具，是小孩的玩意兒，並不像書本那樣值得購買。因此家中參考書，測驗卷，甚至百科全書買了好幾櫃，但是數學學具，卻連一套也沒有。
二，不知道怎麼應用學具。學具買來後，擺在家中，也許被摔壞；或者塵封在學校的儲藏櫃裡，從此不見天日。
我經常接到求救電話，問已經買了昂貴的學具，結果不知道怎麼運用，我只好趕寫一本積木操作指南，來解決這個困擾。
三，學生操作學具時太興奮，教室常規不能維持，甚至學具損耗量太大，教師苦不堪言。自然而然，學具操作被視為一種耗錢又耗力的貴族玩意，一般人不願意使用。
無論如何，學具操作的投資還是值得的，因為它的效益弘遠，省去日後在數學之路上的無數迷惘和挫折。
不管小朋友建構出來什麼積木圖，最重要的是解釋，年紀越小的小孩，越不吝於向大人解釋自己的主意，但年紀稍大的小孩，例如：國小中年級或高年級的，就不願意解釋了。
解釋數學，是數學表達能力的一環，必須自小培養。但是傳統數學教育，並不要求用話語解釋數學，不寫數學論文或日誌，光只在卷上填填答案或寫幾行計算過程就算了，而這種方法並不能培養數學的積極思考能力。
數學家並不是說不出話來的那群人，她們之所以給社會大眾沉默的印象，是因為她們做得多－－大部分時間都在思考，寫書，話相形之下比較少。
數學教育博士Dr. Eternal Yen撰稿，2004/6/16
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