數學學習

杜維華 :淺談“數”(一)

【大紀元7月13日訊】有時候和朋友一談到數學,很多人就聯想到哥德巴赫猜想,問我1+1=2的問題。我就簡單的解釋了一下“1+1”問題的含義:任何大於6的偶數都可以表示為兩個質數之和。比如:8=3+5,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=3+13=5+11………。所謂質數是指不能夠再分解為兩個整數之積 (1乘以本身除外)。當然,我們這裡所說的數都是正整數。

我覺得這裡有意思的是,很多人真的誤以為1+1=2是一個非常難的題,覺得無從下手。甚至我也聽到一個笑話,據說有一次考試,考卷上有一個問題是1+1=?,竟然大多數人不敢答。記得那時我很小,也覺得無所適從。

學了這麼多年數學,後來我系統的學習“代數”(數學的一個分支)的時候,才真正明白小時候的“無所適從”從何而來。其實,我們從小學習算術時,那些加法和乘法規則是老師塞給我們的,作為孩子嘛,都是想當然的接受了那些規則,從來就沒有過問為什麼。多年來,人們在日常生活中都是不知不覺的在運用著,不會有人去問為什麼,也覺得生活得很好,也沒發生什麼矛盾。

那麼這些規則從哪裡來的呢?如果我們認真的去想它,都覺得很自然,卻又說不清楚。其實基本的數字是我們很小的時候由大人通過直觀來告訴我們的,我們的思維中一般開始都是有一些實物,比如六個蘋果,六個李子等等,這樣建立了數字的概念。所謂的加法呢?比如這個小組有5個人,那個小組有6個人,合並到一起,數一數,有11個人。這樣就建立了加法的概念,但是,畢竟它是一種直觀,可是如果事情很復雜了怎麼辦?加法中數字很大了或作很多次加法怎麼辦?這時再依靠直覺就遠遠不行了。那麼就得脫離具體的實物,把它概念化,建立一套規則,這就是算術,顧名思義,就是算的技術。而數字的表達是十進制,那麼我們的理念中其實就是以十進制為基礎的,盡管後來又發展為其它的進制。

下面開始提一下1+1,為什麼我們感到無所適從呢?(盡管覺得很顯然)。其實,當我們證明一樣東西的時候,總要從一個既定的前提來出發,再經過一系列的推演規則(比如邏輯和現實生活中大家都承認的事實),從而得出結論。而這個1+1作為數學問題的時候,我們發現“1”,“2”“+”是什麼東西呢?不知道!其實,這不是大家笨,而是“巧婦難為無米之炊”。我們發現基本的概念,定義不知道。

簡單的說,數學中是如此定義的:

# 有一起始自然數 0。

# 任一自然數 a 必有後繼(successor),記作 a +1。

# 0 並非任何自然數的後繼。

# 不同的自然數有不同的後繼。

自然數加法可經a + 0 = a及a + (b + 1) = (a + b) + 1遞歸定義而成。

在此基礎上,可以演繹出一系列的加法規則和規律。乘法也是如此。其實2被定義為1+1。

由於我的目的不是為了讓大家真正的學數學,而是讓大家了解一下數學並不神秘!所以,我只是簡單的說明一下現實生活和純粹形式邏輯的區別。(http://www.dajiyuan.com)