【大纪元7月18日讯】我们上次简述了有理数和无理数的概念，虽然没有严格的理论基础，但是人们也没有觉得不可理解。
谈到无理数，我想起一个故事：古希腊的毕达哥拉斯学派有一个信条：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比。但是这个学派又在数学上有一项重大发现：勾股定理。但是这却带来一个问题，如果一个直角三角形的两个直角边都是1，那么斜边应该有多长呢？结果发现没有哪个有理数能够是这个斜边之长。我们现在的人可能无法想象，这种现象却引起了第一次数学危机(因为在此以前的人都认为有理数能够度量一切长度)，有人说，这种性质是希帕索斯约在公元前400年发现的，为此，他的同伴把他抛进大海。不过更有可能是毕达哥拉斯已经知道这种事实，而希帕索斯因泄密而被处死。
当然，数学并不是单纯的数的发展，就刚才提到的勾股定理就是几何学的问题，由几何学促进了数的概念的推广，此后人们完善了几何学，开始是欧几里得的几何学(我称之为平直空间的几何学)，后来又发展了非欧几何(即弯曲空间的几何学)。在几何学里，人们较多运用逻辑，即从公理开始，运用一系列的逻辑推演，得出一系列结论。
为了计算求速度、求切线，以及求极大、极小值等问题。经过许多人多年的努力，终于在十七世纪晚期，形成了无穷小演算──微积分这门学科，这也就是数学分析的开端。其中，牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者。同时，十八世纪的数学家成功地用微积分解决了许多实际问题。
我们上大学的理工科非数学专业学生学的高等数学基本就是这些东西，都没有严密的逻辑基础，基本都是习惯的接受，也没有认真的思考为什么，但是我们发现可以实际运用得很好，基本不会造成我们的头脑绝对的逻辑化。其基本原因就是这些数学的建立里边并没有严格的运用逻辑和给出完备的定义。大家能够接受也是因为这些理论能够符合我们的理论直观，能够想象出这些理论是正确的。但是如果我们校真儿的话，我们会发现，我们无法证明。
那么在历史上也是这样，到十九世纪二十年代，一些数学家才开始比较关注于微积分的严格基础。它们从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里克莱等人的工作开始，最终由威尔斯特拉斯、戴德金和康托尔彻底完成，中间经历了半个多世纪，基本上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
其中维尔斯特拉斯给出了ε – δ的极限、连续定义，并把导数、积分等概念都严格地建立在极限的基础上。
十九世纪七十年代初，威尔斯特拉斯、戴德金、康托尔等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析终于建立在实数理论的严格基础之上了。
但是我发现，大学里的学生普遍对ε – δ语言(数学里极限的定义)感到头痛，什么原因呢？我觉得从十九世纪二十年代起，虽然数学家建立的工作很好，可是从另一个方面，它把人们的头脑逻辑化，让人们习惯于这种正常人不习惯的思维方式。我记得我刚开始学习时也觉得有点儿不习惯，但是由于我太习惯于数学的思维方式(逻辑式的思维方式)，再加上那时的我抱着一心想要功名成就的想法而刻苦学习，我很快习惯了这种思维方式，而且ε – δ语言真的成了我语言中的一部分。此后的几年，我感到数学几乎已经融化到我的血液中去，我看数学没有一丝头痛，而且有了一种自动式的思维。
但是，当我与文科的朋友交谈时，我感到我和他们有着不可调和的矛盾：我感到他们说话不准确，很多不合乎严格逻辑等等。我越发感到自己思维的僵化。这就是严格逻辑(无限演绎)所带来的人的变异：当人们简单的运用逻辑时，还没有什么，但是当人们无限的演绎下去时，就会发现这种变异。
刚才也提到了戴德金建立了实数理论(我念大学时学习的就是他的理论)，其实他的理论，用我们平常人的话说，就是把所有的有理数全都放在直线上，那么无理数之集其实就是所有的空隙所构成的集合。我想大家肯定能够明白我所说的话。当然了，为了说明问题嘛，只要大家觉得明白就可以了，不可能运用严格的逻辑。但是呢，搞数学的人在真正作数学的时候是不绝对依靠逻辑的，更多依靠的是直觉和合情推理(日常生活中的逻辑)，当得出结论时，再运用严格的逻辑给予证明(当然，也有直觉错误的时候)。
有人说，数学最终归结于逻辑。但是，如果数学真的归结于逻辑的话，那么我说没有什么数学家了，因为任何一个人只要有足够的时间，都能够运用逻辑发现定理。其实，表面上数学好像是逻辑的推演结果，但是那种想法的来源才是真正的东西，我个人认为，数学也是宇宙中的产物，数学本身也构成一个世界。我们人不过是发现了它。
话又说回来，这种实数的建立其实只是一种理念上的东西，但是它却给我们带来一个错觉，好像现实世界真的就是这样，其实不然。比如，谈到直线，当我们想象一个直线的时候，我们的脑海中好像真的有一个连续的直线。我们用铅笔和直尺也可以画出笔直的线，我们眼睛看到的的确是连续的，但是我们所得到的印象仍然是错觉，因为不管用什么笔画出的直线都是由分子(或原子)组成的，再微观下去，会发现原来有很大的缝隙，怎么会是连续的呢？那么实数空间真实的存在吗？显然是不存在的。另外，实数空间同时也否认了同时同地的另外空间的存在，也否认了鬼魂以及高级生命能够穿越我们空间障碍物的现象。这就是它的另外一种变异。
我所说的变异不是说它真的不能够使用，作为一种工具，它是有一定的实用价值的，虽然它不是真实的存在，但由于分子(或原子)太小，当我们研究问题的时候，现实中的东西近似真实的直线，不影响计算结果(误差极小)，就像用笔连续画出的线我们觉得是连续的一样。
数学所引发的这种绝对逻辑同时也给我们很大的局限，使得我们受制于常规逻辑的制约。
让我举一个很通常的例子，有人说没有上帝，为什么呢？他说：基督教认为上帝是万能的，如果上帝存在，那么他能否制造出一个石头，使得他自己无法举起来。
当然，如果我们按照他的逻辑去推理的话，确实是没有上帝。可是我们所说的万能不是纯粹逻辑意义上的万能，而是上帝的能力极大，超越于所有的常人。他把“万能”置于绝对逻辑之中，用二难推理的办法来打倒上帝，简直就是荒谬。
用语义解释的办法来驳倒反对上帝的人的说法其实是对上帝不敬，尽管我有这个能力来反驳，但一想到这么作不严肃，所以就不作这样的反驳了。
在现实生活中，很多逻辑是不能够简单的运用的，因为简单的逻辑是针对纯粹形式逻辑才好使的，而在现实生活中形式逻辑中所运用的概念可以有不同的意义。比如：“一个物体既是方的，又是圆的”。这句话在纯粹的形式逻辑中是错的，可是在现实生活中是可以实现的，比如一个圆柱体就满足这样的要求。
再比如：1+1=2在自然数集合中是对的，但是在Z2 (即由0和1所构成的集合，满足：0+0=1+1=0，0+1=1+0=1，0*0=0*1=0，1*1=1，1*0=0，这个集合同样满足实数集合中加法和乘法的一切性质) 中就是不对的。
尤其到了近代，数学中的集合论的出现使得人们对于逻辑的运用更加无以复加，再加上无穷的概念的使用使得我们人类在理念上出现了很多问题。让我举一个简单的例子：
假如我们定义全世界上所有不给自己刮胡子的人构成一个集合，记为A，剩下的人就是给自己刮胡子的人，记为B。那么假如我们有这样一个人C，C只给A中的人刮胡子，那么C是否给自己刮胡子？
这个例子在一些教科书中被引用过，也是一个悖论：即由真推出伪，还能够由伪推出真。
当然，还能够举出一些悖论的例子，我的目地不是解决什么悖论，而是说明一个问题，人类这样无限度的这样发展下去是很危险的，人们渐渐的离开了真实，生活在一种虚幻的逻辑之中，这正是一种可悲之处。
现在的数学发展到了什么程度？我记得一个美国数学家所出的书中提到了一个例子，运用选择公里(即给定无穷个集合，那么我们可以从这无穷个集合中每一个集合取出一个元素组成一个新的集合)和一系列逻辑推理(当然包括数学上的巧妙手法)推断出惊人的结论：一个蓝球大小的实心球体，可以通过某种重新分割，在重新组合，可以组合成地球大小的实心球体。
从选择公里的内容看，没人觉得这个公里是不对的，但是，你敢于相信这样的结论吗？可它真的出现了。现在数学所出现的危机几乎没有人去碰它，因为一次比一次深刻。现在在数学的基础中所出现的问题没有人去问津，人们也不愿意去触及，因为它牵扯到人们思维中的根本东西了。所以众多人转向应用，有用就行！我这个小小的数学工作者当然更不想去更多的了解它。我只是以我个人的经验来告诉大家，数学已经走向了尽头！而且，数学作为近代科学的基础已经这样了，更何况其它学科呢？(完)
北莱茵@(http://www.dajiyuan.com)
