杜维华：浅谈“数”（二）

【大纪元7月16日讯】上次谈到自然数的基本定义，有了这个定义，自然可以讨论其性质，当然这些性质如实地反映了实际生活中的现象。可是仅仅有了自然数的概念是远远不够的。

我们知道在自然数中也是有除法的，但是并非任何两个自然数（0除外）都能够整除，那么当不能够整除时我们怎么办呢？在理论直观上真的能够实现吗？

比如一个两米长的木棍要等分为三节，我们也同时知道等分为三节的方法，就是运用平面几何中的等分线段定理：一个三角形ABC（A，B，C分别为三个顶 点），把BC看作底边，如果平行于底边BC的一组平行线等分AB，那么这组平行线也同样等分AC。我想大家很容易知道如何应用这个定理等分这个两米长的木 棍。所以，从理论上讲，2除以3应该是有意义的（这里暂不探求我们这个物理世界是否真的能够做到有2除以3的结果，因为这牵扯到构成这个世界的最小粒子单 位）。

也就是说，在理论直观上是存在分数的，所以我们定义分数是完全合理的，通常表示为n/m的形式，比如2除以3的结果表示为2/3。不过，代数中的定义可就 不是这么简单了，那是为了在逻辑上无矛盾而建立的，当然，我们可以放心大胆地按照实际生活中的经验来做，这都没有关系。可以说，虽然在定义的时候我们还把 它看作学问来对待，但由于应用得太频繁了，它已经成为我们实际生活中直觉的东西了。

那么当我们想表示欠谁多少钱时怎么办呢？这时我们用负数来表示，比如用-2表示拖欠别人2元钱等。自然，我们可以定义出负整数，负分数等等，我们统称这些 为有理数，也就是说，这些数都是“有一定道理的”。

在运算上，所有有理数所构成的集合对加减乘除都是封闭的（除法时，0不能作为被除数），在小数表示上，表现为整数，有限位小数或无限循环小数。

此外，由于解方程的需要，比如x*x=2的解如何表示呢？就用根号表示吧。同时也发现了一些数无法表示为分数的形式（例如根号2,兀等），于是统称这些为 无理数。在表示上表现为无限不循环小数。在中学教学中把无理数定义为无限不循环小数。

以上所叙述的是我们平常人能够理解的，大家也都觉得很自然，虽然也称它为数学，但还是没有使用严格的逻辑推理，很多都是通过举实例的方式和激发人们想像 （我称之为合情推理模式）来达到让人们理解。人们还没有感觉到数学的不可思议。这些东西并不是现代科学的实质，因为即使没有现代的科学，我们还会运用这些 知识，所以它还是正常社会的产物。

北莱茵

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