【大纪元8月14日讯】
世界上只有一到五这五个量！
其它量都是这五个量的重组。
本文将证明只要用五个量，只要认识五个量，就能建构出所有量。
前面二章中，介绍了：
1.一到五的积木
2.一到五的数字
3.一到五的加减法
4.一到四的组成
5.五的十六种组成
只要五根积木就可以建构出如此之多有趣的变化。
第三章要介绍六、七、八、九、十，直到二十。它们不是新的量，乃是旧有五个量的延续。
本章着重在阐扬数论，要叫人看透数量的结构性质。几乎我所有的文章都在强调数学的结构，而非计算过程或答案，甚至应用。
求答案，不是最重要的！看透结构比求答案更重要。
数的结构是“本”，求数的分解或结合（答案）只是末，不要本末倒置了。
以下要介绍六到十！
请默看下图一分钟，抓住心里涌起的第一个直觉，这个直觉就是我们天生的数学感。人的身体是神奇的数学几何模型，人的也思考不离数学的逻辑。我们天生懂数学这句话，其来有自。
右栏的五个积木图，正是左栏加上一根黄色积木的重复！
请回想本文开头的话：
六到十，不是新量，乃是旧有五个量的延续。世界上没有新的数量，所有的数量都是旧数量的累积。
把六、七、八、九、十视为五加上一、二、三、四、五的做法，比贸然引进六到十的观念要好上许多！它能让人立即明白，新的五个量和旧的五个量有什么关联。
在数学世界中，没有什么东西是忽然出现的，所有东西都是有源头的，就像一条河流，定然有源头，只要我们认真溯源，就会找到它的上游。因此无论引进任何的数学新观念，都要从旧有的观念出发，承先才能启后。
不要以为基础数学，可以随便教教，能够算出答案来就好。如上文所言，算出答案不是最重要的，学会数学逻辑的思考模式，才是最重要的。
因此即使如简单介绍六七八九十的观念，方法也是不能忽略的。
再回头看上面的1~5和6~10的积木对应图，大部分的人看了这个图形，都会升起某种神秘的美感。人类的美感源自对应，只要是对应或对称的东西都会引发人的美感意识，而数学世界的美感经常以模式（pattern）的面貌出现。模式是什么？就是一种规律，一种共同的面貌：海浪的波纹和天上的云朵，或者沙邱的沙痕，花瓣或叶脉形状，就有不同的模式，或说特征，我们只要看一眼（如下图），就可以分辨这是属于何者的纹路。
基础数学教育，应一开始就培养小朋友欣赏“模式”（pattern）之美的能力，而不是拼命地教他计算，希望他成为一部快又准的计算机。
发现模式，找出规律，是高等数学的神髓，是人脑应致力的；而计算只是低等数学，属于电脑和计算机的工作。
数学的美学教育，应该越早进行越好，在幼儿阶段就开始进行，不必等到研究所。
A.三个五色台阶：新量和五个旧量的左右对应
1.中间是五的台阶：1~5和6~10
把左栏1~5和右栏6~10的积木拼在一起，就会变成一个很美的五层台阶。它的美感在于左右对称，凡对称的东西，都会出现一种美感。
2.中间是两个五的台阶：1~5和11~15
一到五的五根积木不仅能建构六到十，也可以建构十一到十五，只要把中间的五延长为十，请看下图：
把这个台阶左右拆开，还原如下图：
3.中间是三个五的台阶：1~5和16~20
再来十六到二十，也可如法炮制。延长中间的淡黄色长方形，呈十五即可！
把左右栏拆开，如下图：
请依照1.0，1.1，2.0，2.1，3.0，3.1的图形顺序，重新看一次！
能够排出三个中间为五，十，十五的五层阶梯的小朋友，对于六到二十的级次结构，可说了然于心！
这六个图能让教师毫不费力地引进六到二十的新数量概念！
它们不过是旧有的五个量的延续和重复组合，也可以说六到二十，正是一到五加上五的倍数。
世界上没有别的数字，就只一到五而已。所有的数字都可以用这五个数来代表。S={X│X=5A+B，A ，B }。N代表自然数。
B.四座水晶山：新量和五的倍数关系
排得出以上三个五色阶梯的小朋友，也许还写不出如下算式，但无疑地，他拥有如下概念。
小朋友很容易拥有概念，但也很容易迷失在符号的黑森林里。再强调一次，人天生有数学感，人类是天生的数学家族群，但是符号是人为造成的，是后天社会化的东西，所以小朋友天生有数学概念，但是对符号陌生，甚至很难接受。
试想，我们作为一个成人，忽然移民到火星上，那里的用的数学符号和地球上所用的完全不同，我们会有什么感受？
数学教师有一个天大的错误观念，就是喜欢用符号去教概念，殊不知这是缘木求鱼的动作，应该反过来，用概念去教概念，再反转过来，把概念变成符号！
然而概念是抽象的，如何用抽象去教会抽象呢？最好的媒介是数学教具，而非数学符号。
许多人不免困惑或焦虑，操作数学学具得来的概念，如何转换成符号？毕竟答案和计算过程要用符号（算式）写吧！其实这一点不难，只需一点转换技巧（后文详细介绍）。
是否上面的三个中间为五、十、十五的阶梯图是唯一的积表达法呢？
不！数学的积木表达法绝不仅止于几种，还有很大的空间，可以开发出更多种。
请把4.0的算式表和4.1的水晶山合在一起看，再和1.1，2.1，2.1的五色阶梯对照看。
4.0的算式表的具体表现是水晶山，只要有算式，就应当设法做出积木图来。
五层阶梯，强调的是1~5和6~20的“对称”感；水晶山，强调的是和五之间的关系，积木图的建构是为了看清底下有几根黄色积木。
第一座水晶山下，下方完全没有五的黄色积木。(A=0)
第二座水晶山下，下方有一根五格黄色积木。(A=1)
第三座水晶山下，下方有两根五格黄色积木。(A=2)
第四座水晶山下，下方有三根五格黄色积木。(A=3)
图像数学的魅力，在于概念“不言自明”！
既然是不言自明，教师就可以省去不少解释唇舌，有余力投注在还需要的地方。小朋友有一个特征，许多大人也有同样特征，就是不见得能从言语上领悟，却能从图像上领悟。尤其是年记小的小朋友，多是靠视觉学习的，因为他们的字汇库不够充分，掌握语言的能力比较薄弱。然而人对图像的理解力，却是天生的不用教，也会懂得的
每一个数学观念，每一道算式，都应该用不同的积木图去诠释，因为每种积木图都会强调不同的特征，而这可以让人从不同的角度去看数的结构。而小朋友拥有新鲜活泼的创造力，鼓励她们创造不同的积木图，也就是鼓励其从不同的角度观察并思考数学。手会带动一个人的思考，因此操作学具的重要性，是再怎么强调也不为过的。
当一到二十已经介绍完毕时，是否还有必要再继续介绍二十以上的数呢？到这里可以暂时打上一个句点了，因为明眼人应该知道，二十以上仍然是五个量加上多少个五的循环模式，并没有多大新意。只要把四座水晶山延展为五座，六座、七座、八座等，继续下去，再把底下的黄色积木增加为四根、五根、六根、七根、二十以上的量就会源源不断地出来。
如果小朋友还是意犹未尽的话，教师可以把水晶山向右延展，向下加深，超过二十的量会一一出现。
*操作数学学具的必要性
台湾目前对数学学具的操作，并不怎么重视，原因不外乎下列几点：
一，学具太贵。大部分的人以为学具是玩具，是小孩的玩意儿，并不像书本那样值得购买。因此家中参考书，测验卷，甚至百科全书买了好几柜，但是数学学具，却连一套也没有。
二，不知道怎么应用学具。学具买来后，摆在家中，也许被摔坏；或者尘封在学校的储藏柜里，从此不见天日。
我经常接到求救电话，问已经买了昂贵的学具，结果不知道怎么运用，我只好赶写一本积木操作指南，来解决这个困扰。
三，学生操作学具时太兴奋，教室常规不能维持，甚至学具损耗量太大，教师苦不堪言。自然而然，学具操作被视为一种耗钱又耗力的贵族玩意，一般人不愿意使用。
无论如何，学具操作的投资还是值得的，因为它的效益弘远，省去日后在数学之路上的无数迷惘和挫折。
不管小朋友建构出来什么积木图，最重要的是解释，年纪越小的小孩，越不吝于向大人解释自己的主意，但年纪稍大的小孩，例如：国小中年级或高年级的，就不愿意解释了。
解释数学，是数学表达能力的一环，必须自小培养。但是传统数学教育，并不要求用话语解释数学，不写数学论文或日志，光只在卷上填填答案或写几行计算过程就算了，而这种方法并不能培养数学的积极思考能力。
数学家并不是说不出话来的那群人，她们之所以给社会大众沉默的印象，是因为她们做得多－－大部分时间都在思考，写书，话相形之下比较少。
数学教育博士Dr. Eternal Yen撰稿，2004/6/16
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